数式したい（amsmath）
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{mathtools, amssymb}
数式を表示する場合はamsmathパッケージを使います。
amssymbは数式用フォント（AMSFonts）を読み込むために必要です。
mathtoolsパッケージはamsmathの不具合を修正した拡張したパッケージです。
ヘビーに使わないのであれば、どちらを使ってもよいと思います。
インラン数式したい（$...$）
ピタゴラスの定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ は
$...$で、本文中に数式を出力できます。
この出力形式をインライン数式と呼びます。
インライン数式には数式番号はつきません。
ディスプレイ数式したい（\[...\] / equation）
\[
a^{2} + b^{2} = c^{2}
\]
\[...\]もしくはequation環境で囲んだ数式は、別行立てで出力できます。
この形式をディスプレイ数式と呼びます。
equation環境の数式は自動で採番され、数式番号が表示されます。
\begin{equation}
a^{2} + b^{2} = c^{2}
\end{equation}
またequation環境でも同様のことができます。
ひとつの文書の中で、どちらかの記法に統一するとよいと思います。
文章テキストしたい（\text）
\begin{equation}
E = mc^{2} \quad \text{（$E$はエネルギー）}
\end{equation}
\text{}で、数式中に文章テキストを挿入できます。
この場合には、本文用フォントが適用されます。
注釈
数式環境の中では、数式用フォントが適用されます。
\mathrm{}を使うと、数式用フォントの立体が適用されます。
変数名の添え字などはこちらを使うとよいです。
整列したい（align）
\begin{align}
z_{1} & = ax + by\\
z_{2} & = cx + dy
\end{align}
align環境で、複数行の数式を整列できます。
&で整列する位置を設定し、行末の\\で次の行に移動します。
行ごとに数式番号が出力されます。
注釈
昔はeqnarray環境を使っていましたが、現在は非推奨となっています。
黒板太字したい（\mathbb）
\mathbb{ABCdef7890}
\mathbb{}で文字スタイルを黒板文字（blackboard bold）に変更できます。
筆記体したい（\mathcal）
\mathcal{ABCdef7890}
\mathcal{}で文字スタイルを筆記体（caligraphy）に変更できます。
花文字したい（\mathscr）
\mathscr{ABCdef7890}
\mathscr{}で文字スタイルを花文字（script font）に変更できます。
ドイツ文字したい（\mathfrak）
\mathfrak{ABCdef7890}
\mathfrak{}で文字スタイルをドイツ文字（fraktur）に変更できます。
順列・組み合わせしたい（\prescript）
% プリアンブル
\usepackage{mathtools, amssymb}
% 本文
% prescriptなしでも出力できるが、可読性がよくない
${}_{n}\mathrm{P}_{k}$
${}_{n}\mathrm{C}_{k}$
% 本文
% \prescript{<sup>}{<sub>}{<arg>}
$\prescript{}{n}{\mathrm{P}}_{k}$
$\prescript{}{n}{\mathrm{C}}_{k}$
\prescript{}{}{}で前方に上付き文字、下付き文字をつけることができます。
% mathtoolsがないとき
$^{137}_{\hphantom{0}55}\mathrm{Cs}$
% mathtoolsがあるとき
$\prescript{137}{55}{\mathrm{Cs}}$
\prescript{}{}{}は元素記号を書くときにも活躍します。
利用しない場合、\hphantom{}などを使って手動で字幅の調整が必要です。
\newcommand*{\isotope}[3]{%
\begingroup
\mathtoolset{
prescript-sup-format=\mathit,
prescript-sub-format=\mathbf,
prescript-arg-format=\mathrm,
}%
\prescript{#1}{#2}{#3}%
\endgroup
}
mathtoolsのドキュメントには、同位体を表示するための
コマンド例が載っていました。
ベクトルや行列を表示したい
\Hat{A}
\Bar{A}
\Vec{A}
\dot{x}
\ddot{x}
physicsパッケージも参照すべきです。
依存パッケージ
$ kpsewhich amsmath.sty | xargs cat | rg RequirePackage
\RequirePackage{amstext}[1995/01/25]
\RequirePackage{amsbsy}[1995/01/20]
\RequirePackage{amsopn}[1995/01/20]
$ kpsewhich amssymb.sty | xargs cat | rg RequirePackage
\RequirePackage{amsfonts}[1995/01/01]
$ kpsewhich mathtools.sty | xargs cat | rg RequirePackage
\RequirePackage{keyval,calc}
\RequirePackage{mhsetup}[2021/03/18]
\RequirePackage{amsmath}[2016/11/05]
\RequirePackage{graphicx}%
mathtoolsの中でamsmathが読み込まれています。